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Gemischte Zahlen einfach umwandeln
Eine gemischte Zahl verbindet eine ganze Zahl mit einem Bruchteil. Die Schreibweise $2\frac{3}{4}$ bedeutet $2+\frac{3}{4}$: Das Pluszeichen wird nur nicht mitgeschrieben.
Auf dieser Seite lernst du, gemischte Zahlen zu erkennen, in unechte Brüche umzuwandeln und aus unechten Brüchen wieder gemischte Zahlen zu bilden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet eine gemischte Zahl?
Stell dir zwei ganze Pizzen und drei Viertel einer weiteren Pizza vor. Dazu passt die Zahl $2\frac{3}{4}$.
Gemischte Zahl
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem nachgestellten echten Bruch. Beim echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner. Zwischen beiden Teilen ist ein Pluszeichen zu denken:
$$2\frac{3}{4}=2+\frac{3}{4}$$
Die $2$ steht für zwei Ganze. Der Bruch $\frac{3}{4}$ beschreibt den zusätzlichen Anteil. Gesprochen wird die Zahl als „zwei Ganze und drei Viertel“.
Das fehlende Pluszeichen ist entscheidend: $2\frac{3}{4}$ bedeutet nicht $2\cdot\frac{3}{4}$, sondern $2+\frac{3}{4}$.
Wie wird eine gemischte Zahl zum Bruch?
Eine ganze Zahl lässt sich in gleich große Bruchteile zerlegen. Bei $5\frac{2}{7}$ besteht jedes Ganze aus sieben Siebteln. Fünf Ganze sind daher $5\cdot7=35$ Siebtel. Dazu kommen zwei weitere Siebtel.
Für $a\frac{b}{c}$ gilt:
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Gehe in drei Schritten vor:
- Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner.
- Addiere den bisherigen Zähler.
- Behalte den Nenner bei.
Wandle $5\frac{2}{7}$ in einen Bruch um.
Zuerst rechnest du $5\cdot7=35$. Dann addierst du den Zähler: $35+2=37$. Der Nenner $7$ bleibt erhalten.
$$5\frac{2}{7}=\frac{5\cdot7+2}{7}=\frac{37}{7}$$
Die Probe bestätigt den Wert: $\frac{37}{7}=5+\frac{2}{7}$.
Ein Bruch mit einem größeren Zähler als Nenner heißt hier unechter Bruch. Er stellt mehr als ein Ganzes dar.
Wie wird ein unechter Bruch zur gemischten Zahl?
Bei der Rückumwandlung fragst du: Wie oft passt der Nenner vollständig in den Zähler, und welcher Rest bleibt?
- Teile den Zähler durch den Nenner.
- Der ganzzahlige Quotient wird die ganze Zahl.
- Der Rest wird der neue Zähler.
- Der Nenner bleibt unverändert.
Wandle $\frac{49}{5}$ in eine gemischte Zahl um.
Die $5$ passt neunmal vollständig in $49$, denn $9\cdot5=45$. Es bleiben $49-45=4$ übrig.
$$49:5=9\text{ Rest }4$$
Deshalb gilt:
$$\frac{49}{5}=9\frac{4}{5}$$
Zur Probe wandelst du zurück: $9\cdot5+4=49$.
Bei der Division wird der Quotient zur ganzen Zahl und der Rest zum Zähler. Der alte Nenner bleibt stehen.
Wie prüfst und kürzt du das Ergebnis?
Beim Kürzen bleibt die ganze Zahl unverändert. Du kürzt nur den Bruchteil, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst.
Kürze $2\frac{6}{8}$.
Zähler und Nenner des Bruchteils sind durch $2$ teilbar:
$$\frac{6}{8}=\frac{6:2}{8:2}=\frac{3}{4}$$
Damit gilt:
$$2\frac{6}{8}=2\frac{3}{4}$$
Die ganze Zahl $2$ wurde nicht verändert.
Mit diesen Fragen findest du typische Fehler:
- Wurde bei der gemischten Zahl ein gedankliches Plus statt eines Malzeichens verwendet?
- Blieb der Nenner bei der Umwandlung erhalten?
- Wurde bei der Division der Rest zum Zähler?
- Ist der Bruchteil des Ergebnisses kleiner als $1$?
- Lässt sich der Bruchteil noch kürzen?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gemischte Zahlen
- Bedeutung: ganze Zahl plus Bruchteil
- Schreibweise: Pluszeichen wird weggelassen
- Zum unechten Bruch: multiplizieren und addieren
- Zur gemischten Zahl: dividieren und Rest bestimmen
- Kontrolle: zurückwandeln und gegebenenfalls kürzen
Du kannst beide Umwandlungen als Gegenprobe nutzen. Wandelst du $2\frac{3}{4}$ in $\frac{11}{4}$ und anschließend zurück, musst du wieder $2\frac{3}{4}$ erhalten.
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Entscheidungen begründen kannst, beherrschst du die Bedeutung und beide Umwandlungsrichtungen gemischter Zahlen.