Mit Google fortfahren
Körper und Volumen: Formeln sicher anwenden
Geometrische Körper sind dreidimensional: Sie besitzen einen Rauminhalt. Diesen Rauminhalt nennt man Volumen. Du berechnest ihn je nach Körper aus Kantenlängen oder aus Grundfläche und senkrechter Höhe. Das Ergebnis steht immer in einer Kubikeinheit wie $\mathrm{cm^3}$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Körper erkennen und Größen unterscheiden
Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Objekt. Ein Quader hat 6 rechteckige Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Ein Würfel ist ein besonderer Quader: Alle seine Kanten sind gleich lang und alle Flächen sind Quadrate.
Andere Körper erkennst du an ihrer Grundform:
- Ein Prisma hat zwei gleiche, parallele vieleckige Grundflächen.
- Ein Zylinder hat zwei gleiche, parallele Kreisflächen.
- Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche und eine Spitze.
- Ein Kegel hat eine Kreisfläche und eine Spitze.
- Eine Kugel ist vollständig rund und hat weder Kanten noch Ecken.
Volumen
Das Volumen $V$ ist der Rauminhalt eines Körpers, also zum Beispiel die Menge Wasser, die in ein Gefäß passt. Es wird in Kubikeinheiten angegeben.
Die Oberfläche $O$ ist dagegen die gesamte äußere Begrenzungsfläche. Du misst sie in Quadrateinheiten wie $\mathrm{cm^2}$.
Bei einem Karton beantwortet das Volumen die Frage: „Wie viel passt hinein?“ Die Oberfläche beantwortet die Frage: „Wie viel Material wird für alle Außenseiten benötigt?“
Grundfläche und Höhe richtig wählen
Bei Prismen und Zylindern gilt das Grundprinzip:
$$V=G\cdot h$$
Dabei ist $G$ die Grundfläche und $h$ die senkrechte Körperhöhe. Senkrecht bedeutet: Grundfläche und Höhe bilden einen Winkel von $90^\circ$. Eine schräge Kante darfst du nicht als Höhe einsetzen.
Stell dir ein Prisma als Stapel gleicher Grundflächen vor. Jede zusätzliche Schicht vergrößert die Höhe. Deshalb ergibt sich der Rauminhalt aus „Grundfläche mal Höhe“.
Pyramiden und Kegel sind Spitzkörper. Bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe besitzen sie ein Drittel des Volumens des passenden Prismas oder Zylinders:
$$V=\frac{1}{3}G\cdot h$$
Prisma und Zylinder: $G\cdot h$. Pyramide und Kegel: $\frac{1}{3}G\cdot h$.
Die passende Volumenformel anwenden
Die Buchstaben bedeuten: $a$, $b$ und $h$ sind Längen, $G$ ist die Grundfläche, $r$ der Radius und $\pi$ die Kreiszahl.
| Körper | Volumenformel |
|---|---|
| Quader | $V=a\cdot b\cdot h$ |
| Würfel | $V=a^3$ |
| Prisma | $V=G\cdot h$ |
| Zylinder | $V=\pi r^2h$ |
| Pyramide | $V=\frac{1}{3}G\cdot h$ |
| Kegel | $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ |
| Kugel | $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ |
Ein Dreiecksprisma hat die Dreiecksseite $a=3\,\mathrm{cm}$, die zugehörige Dreieckshöhe $h_a=2\,\mathrm{cm}$ und die Körperhöhe $h=5\,\mathrm{cm}$.
Zuerst berechnest du die dreieckige Grundfläche:
$$G=\frac{1}{2}\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=3\,\mathrm{cm^2}$$
Dann multiplizierst du mit der Körperhöhe:
$$V=G\cdot h=3\,\mathrm{cm^2}\cdot5\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm^3}$$
Das Prisma hat ein Volumen von $15\,\mathrm{cm^3}$.
Ein Zylinder hat $r=2\,\mathrm{cm}$ und $h=8\,\mathrm{cm}$.
$$V=\pi\cdot(2\,\mathrm{cm})^2\cdot8\,\mathrm{cm}=32\pi\,\mathrm{cm^3}\approx100{,}5\,\mathrm{cm^3}$$
Der Radius wird quadriert, die Höhe nicht.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Dreiecksprisma berechnest du zuerst die . Danach nutzt du das Prinzip . Beim Kegel gehört der Faktor zur Formel. Bei einer Kugel wird der Radius mit dem Exponenten verwendet.
Einheiten vereinheitlichen und Ergebnisse prüfen
Bevor du Werte einsetzt, müssen alle Längen dieselbe Einheit haben. Aus $40\,\mathrm{mm}$ werden zum Beispiel $4\,\mathrm{cm}$.
Bei Volumeneinheiten wird der Umrechnungsfaktor dreimal verwendet:
- $1\,\mathrm{dm}=10\,\mathrm{cm}$, also $1\,\mathrm{dm^3}=1000\,\mathrm{cm^3}$.
- $1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm}$, also $1\,\mathrm{m^3}=1{.}000{.}000\,\mathrm{cm^3}$.
- $1\,\mathrm{l}=1\,\mathrm{dm^3}$.
Ein Quader ist $16\,\mathrm{cm}$ lang, $5\,\mathrm{cm}$ breit und $6\,\mathrm{cm}$ hoch.
$$V=16\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=480\,\mathrm{cm^3}$$
Da $1000\,\mathrm{cm^3}=1\,\mathrm{dm^3}$ gilt:
$$480\,\mathrm{cm^3}=0{,}48\,\mathrm{dm^3}=0{,}48\,\mathrm{l}$$
Das Ergebnis passt: Ein kleiner Quader dieser Maße fasst weniger als einen Liter.
Prüfe am Ende Körperform, Einheit und Größenordnung. Eine Volumenangabe in $\mathrm{cm^2}$ ist falsch, denn $\mathrm{cm^2}$ ist eine Flächeneinheit.
Komplexe Volumenaufgaben zerlegen
Gehe bei jeder Aufgabe in fünf Schritten vor:
- Markiere gegebene und gesuchte Größen.
- Erkenne den Körper oder zerlege ihn in bekannte Einzelkörper.
- Vereinheitliche alle Längeneinheiten.
- Wähle die Formel, setze ein und rechne.
- Prüfe Einheit, Größenordnung und Bedeutung des Ergebnisses.
Bei einem zusammengesetzten Körper addierst du die Volumina der Teilkörper. Bei einem Hohlkörper rechnest du Außenvolumen minus Innenvolumen.
Ein gerades Rohr kann als großer Zylinder mit einem kleineren zylindrischen Loch betrachtet werden. Für Außenradius $R$, Innenradius $r$ und gemeinsame Höhe $h$ gilt:
$$V=\pi R^2h-\pi r^2h=\pi(R^2-r^2)h$$
Die Reihenfolge ist wichtig: Nur Außenvolumen minus Innenvolumen ergibt das Materialvolumen.
Manchmal ist eine Länge gesucht. Dann stellst du die Volumenformel um. Hat ein Würfel das Volumen $64\,\mathrm{cm^3}$, gilt $a^3=64\,\mathrm{cm^3}$. Für die positive Kantenlänge folgt $a=4\,\mathrm{cm}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Körper und Volumen
- Körper erkennen
- Flächen, Kanten und Ecken
- Grundfläche und Spitze
- Volumen berechnen
- Prisma und Zylinder: $G\cdot h$
- Pyramide und Kegel: $\frac{1}{3}G\cdot h$
- eigene Formeln für Würfel und Kugel
- sicher arbeiten
- Einheiten vereinheitlichen
- Teilkörper addieren oder abziehen
- Ergebnis prüfen
- Körper erkennen