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Die Kosinusfunktion beschreibt wiederkehrende Bewegungen: Wellen, Schwingungen, Kreise und periodische Vorgänge. Ihr Graph sieht aus wie eine regelmäßig laufende Welle.
Hier lernst du, wie die Kosinusfunktion aussieht, was Amplitude und Periode bedeuten und wie du einfache Veränderungen am Graphen erkennst.
- Ich kann den Grundgraphen von $f(x)=\cos(x)$ beschreiben.
- Ich kann wichtige Werte wie $\cos(0)$ und $\cos(\pi)$ nennen.
- Ich kann Amplitude und Periode erklären.
- Ich kann Verschiebungen und Streckungen deuten.
- Ich kann typische Aufgaben zum Graphen lösen.
Der Grundgraph
Die Kosinusfunktion ordnet jedem Winkel einen Wert zwischen \(-1\) und \(1\) zu. Im Bogenmaß hat sie die Grundform \(f(x)=\cos(x)\).
Kosinusfunktion
Die Kosinusfunktion ist die Funktion \(f(x)=\cos(x)\). Sie ist periodisch und nimmt Werte zwischen \(-1\) und \(1\) an.
Wichtige Werte sind:
\(\cos(0)=1\)
\(\cos\left(\frac\pi2\right)=0\)
\(\cos(\pi)=-1\)
\(\cos(2\pi)=1\)
Der Kosinus startet bei \(x=0\) mit dem Wert \(1\).
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Periode und Wiederholung
Der Kosinus wiederholt sich immer nach \(2\pi\). Das nennt man seine Periode.
Periode
Die Periode ist die Länge eines vollständigen Durchlaufs, nach dem sich der Graph wiederholt.
Für \(f(x)=\cos(x)\) gilt:
\(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\).
Also ist die Periode \(2\pi\).
Im Gradmaß entspricht \(2\pi\) genau \(360^\circ\). In der Analysis wird meist das Bogenmaß verwendet.
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Amplitude und Mittellinie
Die Amplitude beschreibt, wie weit die Welle von ihrer Mittellinie ausschlägt.
Amplitude
Die Amplitude ist der Abstand von der Mittellinie bis zum höchsten Punkt des Graphen.
\(f(x)=3\cos(x)\) hat Amplitude \(3\).
Die Werte liegen zwischen \(-3\) und \(3\).
\(g(x)=\cos(x)+2\) ist um \(2\) nach oben verschoben.
Die Mittellinie ist \(y=2\).
Die Werte liegen zwischen \(1\) und \(3\).
Der Faktor vor dem Kosinus verändert die Höhe. Eine Zahl hinter dem Kosinus verschiebt den Graphen nach oben oder unten.
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Nullstellen und Extrempunkte
Nullstellen sind Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte.
Nullstelle
Eine Nullstelle ist eine x-Stelle, an der der Funktionswert \(0\) ist.
Bei \(f(x)=\cos(x)\) liegen Nullstellen unter anderem bei:
\(x=\frac\pi2\) und \(x=\frac{3\pi}{2}\).
Dort ist der Kosinuswert \(0\).
Hochpunkte liegen bei \(x=0\), \(x=2\pi\), \(x=4\pi\) und so weiter.
Tiefpunkte liegen bei \(x=\pi\), \(x=3\pi\) und so weiter.
Für den Grundgraphen reicht oft ein Durchlauf von \(0\) bis \(2\pi\): hoch, Nullstelle, tief, Nullstelle, hoch.
Prüfungsmodus: Funktionsgleichung lesen
Bei \(f(x)=a\cos(bx)+d\) zeigen die Parameter, wie der Graph verändert wird.
\(f(x)=2\cos(x)+1\)
Amplitude: \(2\).
Mittellinie: \(y=1\).
Wertebereich: von \(-1\) bis \(3\).
\(g(x)=\cos(2x)\)
Der Faktor \(2\) im Argument sorgt für eine kürzere Periode.
Die Periode ist \(\frac{2\pi}{2}=\pi\).
Außen verändert Höhe und Lage. Innen verändert die x-Richtung und damit die Periode.
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Kosinusfunktion \(f(x)=\cos(x)\) ist periodisch, hat die Periode \(2\pi\) und Werte zwischen \(-1\) und \(1\). Sie startet bei \(x=0\) mit dem Wert \(1\).
Parameter verändern den Graphen: Ein Faktor außen verändert die Amplitude, ein Faktor innen die Periode und eine Zahl außen die Mittellinie.