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Kosinusfunktion: Graph, Eigenschaften und Parameter
Die Kosinusfunktion ordnet jedem Winkel $x$ die x-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis zu. Ihr Graph wiederholt sich regelmäßig zwischen $-1$ und $1$.
Du lernst, den Grundgraphen zu lesen, Nullstellen und Extrempunkte zu bestimmen und die Parameter einer transformierten Kosinusfunktion zu deuten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Einheitskreis zum Kosinuswert
Beim Einheitskreis beträgt der Radius $1$. Ein Winkel $x$ wird von der positiven x-Achse aus gemessen. Der zugehörige Kreispunkt hat die Koordinaten
$$P=(\cos x,\sin x).$$
Der Kosinuswert ist also die x-Koordinate. Deshalb liegt er bei reellen Winkeln immer zwischen $-1$ und $1$.
Für $60^\circ$ liegt der Kreispunkt in der rechten Hälfte des Einheitskreises. Seine x-Koordinate ist $0{,}5$. Daher gilt
$$\cos 60^\circ=0{,}5.$$
Funktionsgraphen verwenden gewöhnlich das Bogenmaß. Eine volle Umdrehung entspricht
$$360^\circ=2\pi.$$
Für die Umrechnung von Grad ins Bogenmaß gilt
$$x_{\mathrm{rad}}=x_{\mathrm{grad}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}.$$
Damit erhältst du beispielsweise
$$60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3}.$$
Prüfe vor einer Taschenrechnerrechnung die Einstellung: DEG gehört zum Gradmaß, RAD zum Bogenmaß.
So liest du den Grundgraphen
Die Grundfunktion lautet
$$f(x)=\cos x.$$
Ihr Definitionsbereich ist $D=\mathbb R$: Du darfst jede reelle Zahl einsetzen. Der Wertebereich ist
$$W=[-1,1].$$
In der Periode von $0$ bis $2\pi$ verläuft der Graph von $(0,1)$ über den Tiefpunkt $(\pi,-1)$ zurück zu $(2\pi,1)$. Danach wiederholt sich dieser Verlauf.
Periode
Die Periode ist die kleinste positive Länge, nach der sich alle Funktionswerte wiederholen. Für die Kosinusfunktion beträgt sie $2\pi$:
$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$
Weil $\cos(-x)=\cos x$ gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die wichtigsten Stellen lauten für $k\in\mathbb Z$:
- Nullstellen: $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
- Hochpunkte: $(2k\pi,1)$
- Tiefpunkte: $(\pi+2k\pi,-1)$
Gesucht ist die Nullstelle mit dem Index $k=5$:
$$x_5=\frac{\pi}{2}+5\pi=\frac{11\pi}{2}.$$
Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen beträgt stets $\pi$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Kosinusfunktion hat den Wertebereich . Ihre kleinste positive Periode ist {*$2\pi$|$\pi$|$\frac{\pi}{2}$}. Wegen $\cos(-x)=$ ist ihr Graph zur y-Achse .
Parameter verändern den Graphen
Eine transformierte Kosinusfunktion lässt sich übersichtlich so schreiben:
$$g(x)=a\cos(b(x-c))+d,$$
wobei $b\neq0$ gilt.
- $|a|$ ist die Amplitude. Sie gibt den Abstand der Extremwerte von der Mittellinie an. Bei $a<0$ wird der Verlauf zusätzlich an der Mittellinie gespiegelt.
- $b$ verändert die Periodenlänge. Es gilt $p=\frac{2\pi}{|b|}$.
- $c$ verschiebt den Graphen waagerecht: $c>0$ bedeutet in dieser Schreibweise eine Verschiebung nach rechts.
- $d$ verschiebt den Graphen senkrecht. Die neue Mittellinie ist $y=d$.
Für $a\neq0$ ist der Wertebereich
$$W=[d-|a|,d+|a|].$$
In der ebenfalls häufigen Form $a\cos(bx+c)+d$ beträgt die horizontale Verschiebung $-\frac{c}{b}$. Das Vorzeichen von $c$ allein reicht dort nicht aus.
Ein vollständiges Transformationsbeispiel
Untersuche die Funktion
$$g(x)=2\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)-1.$$
Aus der Funktionsgleichung liest du ab:
- $a=2$: Die Amplitude beträgt $2$.
- $b=2$: Die Periode beträgt $p=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
- $c=\frac{\pi}{4}$: Der Graph ist um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben.
- $d=-1$: Die Mittellinie lautet $y=-1$.
- Der Wertebereich ist $[-1-2,-1+2]=[-3,1]$.
Für charakteristische Punkte setzt du zunächst das innere Argument
$$u=2\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Dann löst du nach $x$ auf:
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{u}{2}.$$
| $u$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ | $\frac{5\pi}{4}$ |
| $g(x)$ | $1$ | $-1$ | $-3$ | $-1$ | $1$ |
Die Tabelle zeigt genau eine Periode: vom Hochpunkt bei $x=\frac{\pi}{4}$ bis zum nächsten Hochpunkt bei $x=\frac{5\pi}{4}$.
Bestimme zuerst Amplitude, Periode, Verschiebung und Mittellinie. Übertrage danach die fünf charakteristischen Kosinuspunkte auf die neue Funktion.
Vertiefung: Kosinus in der Analysis
Für Ableitungen und Stammfunktionen wird das Bogenmaß verwendet. Die Grundableitungen lauten
$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$
und
$$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.$$
Die Ableitungen durchlaufen einen Viererzyklus:
$$\cos x\;\rightarrow\;-\sin x\;\rightarrow\;-\cos x\;\rightarrow\;\sin x\;\rightarrow\;\cos x.$$
Eine Stammfunktion von $\cos x$ ist $\sin x$, denn die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$:
$$\int\cos x\,dx=\sin x+C.$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kosinusfunktion
- Einheitskreis: x-Koordinate sowie Grad- und Bogenmaß
- Grundgraph: Wertebereich $[-1,1]$, Periode $2\pi$ und Symmetrie zur y-Achse
- Charakteristische Stellen: Nullstellen, Hochpunkte und Tiefpunkte
- Transformation: Amplitude $|a|$, Periode $\frac{2\pi}{|b|}$ sowie Verschiebungen $c$ und $d$
- Analysis: Ableitung $-\sin x$ und Stammfunktion $\sin x+C$
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Abschlussfragen begründen kannst, kannst du den Grundgraphen und transformierte Kosinusfunktionen sicher untersuchen.