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Kreisring berechnen: Fläche, Breite und Rand
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Seine Fläche erhältst du, indem du die innere Kreisfläche von der äußeren abziehst: $A=\pi(R^2-r^2)$. Dabei ist $R$ der Außenradius und $r$ der Innenradius.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen Kreisring?
Stell dir eine Unterlegscheibe vor: Sie hat außen und innen einen kreisförmigen Rand. Mathematisch entsteht ein Kreisring nur dann, wenn beide Kreise konzentrisch sind, also denselben Mittelpunkt haben.
Kreisring
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen. $R$ bezeichnet den Außenradius, $r$ den Innenradius. Es gilt $R>r$.
Die Ringbreite $b$ ist der Abstand zwischen innerem und äußerem Rand:
$$b=R-r$$
Für die Durchmesser gilt $D=2R$ außen und $d=2r$ innen. Deshalb ist die Ringbreite auch $b=(D-d)/2$.
Wie berechnest du die Fläche?
Der äußere Kreis enthält den Ring und das innere Loch. Deshalb ziehst du die Fläche des Innenkreises von der Fläche des Außenkreises ab.
$$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)$$
Erst beide Radien quadrieren, dann die Quadrate subtrahieren. Die Fläche ist nicht $\pi(R-r)^2$.
Gegeben sind $R=7\,\mathrm{cm}$ und $r=3\,\mathrm{cm}$.
- Äußere Kreisfläche: $\pi\cdot(7\,\mathrm{cm})^2=49\pi\,\mathrm{cm^2}$
- Innere Kreisfläche: $\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2=9\pi\,\mathrm{cm^2}$
- Differenz: $A=(49-9)\pi\,\mathrm{cm^2}=40\pi\,\mathrm{cm^2}$
- Näherungswert: $A\approx125{,}66\,\mathrm{cm^2}$
Der Kreisring bedeckt also ungefähr $125{,}66\,\mathrm{cm^2}$. Die Einheit ist quadratisch, weil eine Fläche berechnet wurde.
Welche Formel passt zu den Angaben?
Manchmal sind Durchmesser oder die Ringbreite gegeben. Dann musst du nicht immer zuerst alle Radien ausrechnen.
- Mit Radien: $A=\pi(R^2-r^2)$
- Mit Durchmessern: $A=\frac{\pi}{4}(D^2-d^2)$
- Mit Außendurchmesser und Breite: $A=\pi(D-b)b$
- Mit Innendurchmesser und Breite: $A=\pi(d+b)b$
- Mit mittlerem Ringdurchmesser $d_m=(D+d)/2$: $A=\pi d_m b$
Beim Beispiel mit $R=7\,\mathrm{cm}$ und $r=3\,\mathrm{cm}$ sind $D=14\,\mathrm{cm}$, $d=6\,\mathrm{cm}$ und $b=4\,\mathrm{cm}$.
Mit Außendurchmesser und Breite:
$$A=\pi(14\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm})\cdot4\,\mathrm{cm}=40\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Die andere Formel liefert also dieselbe Fläche.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei der Kreisringfläche wird die innere Kreisfläche von der Kreisfläche abgezogen. Sind Durchmesser gegeben, werden sie für die Radienformel zuerst . Das Ergebnis einer Flächenberechnung trägt eine .
Was bedeutet Umfang beim Kreisring?
Der Rand eines Kreisrings besteht aus zwei Kreislinien: dem äußeren und dem inneren Rand. Wenn die gesamte Randlänge gefragt ist, addierst du beide Kreisumfänge.
$$U_{\text{Rand}}=2\pi R+2\pi r=2\pi(R+r)$$
Für $R=7\,\mathrm{cm}$ und $r=3\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$U_{\text{Rand}}=2\pi\cdot7\,\mathrm{cm}+2\pi\cdot3\,\mathrm{cm}=20\pi\,\mathrm{cm}\approx62{,}83\,\mathrm{cm}$$
Das ist eine Länge und wird deshalb in Zentimetern angegeben, nicht in Quadratzentimetern.
Wie vermeidest du typische Fehler?
Prüfe vor jeder Rechnung vier Punkte:
- Sind Radien oder Durchmesser gegeben?
- Wird eine Fläche oder eine Randlänge gesucht?
- Hast du erst am Ende gerundet?
- Passt die Einheit: $\mathrm{cm^2}$ für eine Fläche, $\mathrm{cm}$ für eine Länge?
Eine überraschende Flächengleichheit hilft beim Prüfen: Der Ring zwischen den Radien $5$ und $4$ hat die Fläche
$$\pi(5^2-4^2)=9\pi.$$
Er ist damit flächengleich zu einem Kreis mit Radius $3$, denn dessen Fläche ist ebenfalls $\pi\cdot3^2=9\pi$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreisring
- Erkennen: Fläche zwischen konzentrischen Kreisen
- Größen: Außenradius $R$, Innenradius $r$, Breite $b$
- Fläche: äußere Kreisfläche minus innere Kreisfläche
- Formeln: Radien, Durchmesser oder Breite passend nutzen
- Rand: inneren und äußeren Kreisumfang addieren
- Prüfen: Einheit und Plausibilität kontrollieren