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ln ableiten: Grundregel und Kettenregel erklärt
Die natürliche Logarithmusfunktion hat die Ableitung $(\ln x)'=\frac1x$. Steht im Logarithmus ein innerer Term $g(x)$, brauchst du die Kettenregel: $(\ln(g(x)))'=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Dabei muss stets $g(x)>0$ gelten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Grundregel erkennen
Der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ ist der Logarithmus zur Basis $e$. Für seine Ableitung gilt:
$$f(x)=\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac1x$$
Die Regel gilt für $x>0$, denn nur dort ist $\ln(x)$ als reelle Funktion definiert.
Beim Ableiten von $\ln(x)$ wird aus dem Argument $x$ sein Kehrwert $\frac1x$.
Für $f(x)=4\ln(x)$ bleibt der konstante Faktor $4$ erhalten:
$$f'(x)=4\cdot\frac1x=\frac4x$$
Die Ableitung gilt wie die Ausgangsfunktion für $x>0$.
Die Kettenregel anwenden
Bei $f(x)=\ln(g(x))$ ist $g(x)$ die innere Funktion. Außen steht der natürliche Logarithmus.
Kettenregel bei ln
Du leitest zuerst die äußere Funktion ab und multiplizierst mit der inneren Ableitung. Dadurch entsteht:
$$(\ln(g(x)))'=\frac1{g(x)}\cdot g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$
Gehe in drei Schritten vor:
- Bestimme den inneren Term $g(x)$.
- Berechne seine Ableitung $g'(x)$.
- Setze beides in $\frac{g'(x)}{g(x)}$ ein.
Gegeben ist $f(x)=\ln(2x^2+3)$.
Der innere Term und seine Ableitung sind:
$$g(x)=2x^2+3,\qquad g'(x)=4x$$
Einsetzen liefert:
$$f'(x)=\frac{4x}{2x^2+3}$$
Der Nenner bleibt der unveränderte innere Term. Weil $2x^2+3$ für jedes reelle $x$ positiv ist, ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert.
Den Definitionsbereich mitprüfen
Ein natürlicher Logarithmus darf nur von einer positiven Zahl genommen werden. Für $f(x)=\ln(g(x))$ musst du deshalb die Bedingung $g(x)>0$ prüfen.
Für $f(x)=\ln(x^2+x)$ gilt:
$$x^2+x=x(x+1)>0$$
Das Produkt ist positiv für $x<-1$ oder $x>0$. Auf diesen beiden Bereichen kannst du ableiten:
$$f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x}$$
Die Stellen $x=-1$ und $x=0$ gehören nicht zum Definitionsbereich. Dort ist auch der Nenner der Ableitung null.
Die Ableitungsregel ersetzt nicht die Definitionsprüfung: Erst muss das ln-Argument positiv sein, dann gilt $\frac{g'(x)}{g(x)}$.
Ähnliche ln-Terme unterscheiden
Klammern und Potenzen entscheiden darüber, welche Funktion innen und welche außen liegt.
Der Term $\ln(x^3)$
Hier ist $x^3$ das Argument des Logarithmus:
$$\frac{d}{dx}\ln(x^3)=\frac{3x^2}{x^3}=\frac3x$$
Im reellen Bereich muss $x^3>0$ sein, also $x>0$.
Der Term $(\ln x)^3$
Hier ist $\ln(x)$ die innere Funktion und die dritte Potenz die äußere Funktion:
$$\frac{d}{dx}(\ln x)^3=3(\ln x)^2\cdot\frac1x=\frac{3(\ln x)^2}{x}$$
Auch diese Funktion ist nur für $x>0$ definiert.
Vertiefung: mehrfach verkettete Funktionen
Bei mehreren Schichten wendest du die Kettenregel von außen nach innen an.
Für $f(x)=\ln(\sin(2x-3))$ erkennst du drei Schichten:
- außen: $\ln(v)$,
- in der Mitte: $v=\sin(u)$,
- innen: $u=2x-3$.
Die Ableitungsfaktoren sind $\frac1v$, $\cos(u)$ und $2$. Nach dem Rückeinsetzen erhältst du:
$$f'(x)=\frac{2\cos(2x-3)}{\sin(2x-3)}$$
Die Formel gilt nur an Stellen, an denen $\sin(2x-3)>0$ ist. Diese Bedingung ist strenger als $\sin(2x-3)\ne0$, weil das Argument des Logarithmus positiv sein muss.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- ln ableiten
- Grundregel: $(\ln x)'=\frac1x$
- Verkettung: innere Funktion $g(x)$ erkennen
- Kettenregel: $\frac{g'(x)}{g(x)}$
- Bedingung: $g(x)>0$
- Kontrolle: innere Ableitung und Argument prüfen