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ln-Funktion: Eigenschaften, Ableitung und Anwendung
Die ln-Funktion gibt an, welcher Exponent von $e$ zu einer positiven Zahl führt. Deshalb ist sie die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$.
Auf dieser Seite lernst du, den Graphen zu beschreiben, Definitionsbereiche und Nullstellen zu bestimmen, ln-Funktionen abzuleiten und einfache Exponentialgleichungen zu lösen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie hängen ln und e zusammen?
Die Schreibweise $\ln y$ bedeutet: Welcher Exponent von $e$ ergibt $y$? Dabei ist $e\approx2{,}71828$ die Eulersche Zahl.
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis $e$:
$$\ln x=\log_e x$$
Für reelle Zahlen ist er nur für $x>0$ definiert.
Die beiden Umkehrbeziehungen lauten:
$$e^{\ln x}=x\quad(x>0)$$
$$\ln(e^x)=x$$
Gesucht ist $\ln(e^2)$. Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten, zu dem $e$ potenziert wurde. Dieser Exponent ist $2$:
$$\ln(e^2)=2$$
Ebenso gilt $\ln 1=0$, weil $e^0=1$, und $\ln e=1$, weil $e^1=e$.
Wie bestimmst du Definitionsbereich und Nullstelle?
Der Ausdruck in der Klammer heißt Argument. Bei $\ln(x+2)$ ist das Argument also $x+2$.
Für eine reelle ln-Funktion muss das Argument stets strikt positiv sein:
$$g(x)>0$$
Um den Definitionsbereich von $\ln(g(x))$ zu bestimmen, gehst du so vor:
- Bestimme das Argument $g(x)$.
- Setze $g(x)>0$.
- Löse die Ungleichung nach $x$.
- Notiere das zulässige Intervall.
Für $f(x)=\ln(x-2)$ muss gelten:
$$x-2>0$$
Also ist $x>2$ und damit
$$D=(2,\infty).$$
Der Randwert $2$ gehört nicht dazu, weil das Argument dort $0$ wäre.
Eine ln-Funktion hat genau dann den Wert $0$, wenn ihr Argument $1$ ist:
$$\ln(g(x))=0\iff g(x)=1$$
Bestimme die Nullstelle von $f(x)=\ln(x+2)$:
$$\ln(x+2)=0$$
Deshalb muss $x+2=1$ gelten. Daraus folgt $x=-1$.
Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$$\ln(-1+2)=\ln1=0.$$
Woran erkennst du den Graphen?
Der Graph von $f(x)=\ln x$ entsteht, wenn der Graph von $e^x$ an der Geraden $y=x$ gespiegelt wird. Bei dieser Spiegelung tauschen Definitions- und Wertebereich ihre Rollen.
Für $f(x)=\ln x$ gilt:
- Definitionsbereich: $D=(0,\infty)$
- Wertebereich: $W=\mathbb R$
- Nullstelle: $(1,0)$
- besonderer Punkt: $(e,1)$
- kein Schnittpunkt mit der $y$-Achse
- streng monoton steigend
Nahe bei $x=0$ fällt der Funktionswert ohne Grenze. Für große positive $x$ wächst er ohne Grenze:
$$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$$
$$\lim_{x\to\infty}\ln x=\infty$$
Die Gerade $x=0$, also die $y$-Achse, ist eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr an, erreicht sie aber nie.
Obwohl die Funktion immer steigt, wird ihre Steigung mit wachsendem $x$ kleiner.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Graph von $\ln x$ ist nur für Werte von $x$ definiert. Seine Nullstelle liegt bei $x=$. Für $x\to0^+$ gilt $\ln x\to$.
Wie leitest du ln-Funktionen ab?
Für die Grundfunktion gilt:
$$f(x)=\ln x\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac1x$$
Da $x>0$ ist, ist auch $1/x>0$. Das erklärt, warum $\ln x$ streng steigt. Zugleich wird $1/x$ für wachsende $x$ kleiner: Der Graph steigt immer flacher.
Bei einer zusammengesetzten Funktion brauchst du die Kettenregel:
Für $f(x)=\ln(g(x))$ gilt im Definitionsbereich:
$$f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$
Du leitest also das Argument ab und teilst durch das ursprüngliche Argument.
Leite $f(x)=\ln(x^2+2)$ ab.
Das Argument ist $g(x)=x^2+2$. Seine Ableitung lautet $g'(x)=2x$. Daher:
$$f'(x)=\frac{2x}{x^2+2}$$
Außerdem gilt $x^2+2>0$ für alle reellen $x$. Die Funktion und ihre Ableitung sind deshalb für jedes $x\in\mathbb R$ definiert.
Eine Stammfunktion von $\ln x$ ist
$$F(x)=x\ln x-x+C.$$
Die Kontrolle durch Ableiten ergibt:
$$F'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x-1=\ln x.$$
Wie löst du Exponentialgleichungen mit ln?
Steht die Unbekannte im Exponenten, kannst du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwenden.
Löse die Gleichung $e^x=21$.
Logarithmiere beide Seiten:
$$\ln(e^x)=\ln21$$
Wegen $\ln(e^x)=x$ erhältst du die exakte Lösung:
$$x=\ln21.$$
Die Probe funktioniert direkt:
$$e^{\ln21}=21.$$
Das Verfahren setzt voraus, dass die rechte Seite positiv ist. Eine Gleichung wie $e^x=-2$ besitzt keine reelle Lösung, weil $e^x$ für jedes reelle $x$ positiv ist.
Löse $e^{2x}=7$.
Zuerst logarithmierst du beide Seiten:
$$\ln(e^{2x})=\ln7$$
Dann vereinfachst du die linke Seite und löst nach $x$ auf:
$$2x=\ln7$$
$$x=\frac{\ln7}{2}$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- ln-Funktion
- Bedeutung: gesuchter Exponent zur Basis e
- Umkehrfunktion von e^x
- Definitionsbereich: positive Argumente
- Graph: steigend mit Asymptote x=0
- Nullstelle: Argument gleich 1
- Ableitung: innere Ableitung durch Argument
- Anwendung: Exponentialgleichungen lösen
Abschluss-Check
Du beherrschst die ln-Funktion, wenn du bei jeder Aufgabe zuerst das Argument prüfst und anschließend entscheidest, ob du die Umkehrbeziehung, die Nullstellenregel oder die Ableitungsregel brauchst.