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Wenn du ein Etikett um eine Dose klebst oder Papier um einen Körper wickelst, brauchst du oft nicht die ganze Oberfläche, sondern nur die Seitenfläche. Diese Seitenfläche heißt Mantelfläche.
Hier lernst du, was Mantelfläche bedeutet und wie du sie bei Zylinder, Kegel und Prisma berechnest.
- Ich kann Mantelfläche und Oberfläche unterscheiden.
- Ich kann die Mantelfläche eines Zylinders berechnen.
- Ich kann die Mantelfläche eines Kegels berechnen.
- Ich kann Mantelflächen bei Prismen über Umfang mal Höhe bestimmen.
- Ich kann passende Einheiten und gegebene Längen beachten.
Mantel statt ganzer Oberfläche
Die Mantelfläche ist die Fläche außen herum, ohne Deck- und Grundfläche.
Mantelfläche
Die Mantelfläche ist die seitliche Fläche eines Körpers. Sie ist nur ein Teil der gesamten Oberfläche.
Bei einer Dose ist das Etikett die Mantelfläche.
Der Kreis oben und der Kreis unten gehören nicht zum Etikett.
Die ganze Oberfläche wäre Mantel plus beide Kreisflächen.
Mantelfläche heißt: Seitenfläche. Oberfläche heißt: alle Außenflächen zusammen.
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Mantelfläche des Zylinders
Wenn du den Zylindermantel aufschneidest und ausrollst, entsteht ein Rechteck. Eine Seite ist die Höhe, die andere Seite ist der Kreisumfang.
Zylindermantel
Die Mantelfläche eines Zylinders ist \(M=2\pi r h\). Dabei ist \(2\pi r\) der Umfang der Kreisgrundfläche.
Ein Zylinder hat \(r=4\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\).
\(M=2\pi\cdot4\cdot10\)
\(M=80\pi\)
\(M\approx251{,}33\,\text{cm}^2\)
Zylindermantel = Kreisumfang mal Höhe.
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Mantelfläche des Kegels
Beim Kegel brauchst du den Radius und die Mantellinie. Die Mantellinie ist die schräge Strecke vom Rand der Grundfläche zur Spitze.
Kegelmantel
Die Mantelfläche eines Kegels ist \(M=\pi r s\). Dabei ist \(s\) die Mantellinie.
Ein Kegel hat \(r=3\,\text{cm}\) und \(s=5\,\text{cm}\).
\(M=\pi\cdot3\cdot5\)
\(M=15\pi\)
\(M\approx47{,}12\,\text{cm}^2\)
Die Mantellinie \(s\) ist nicht dasselbe wie die senkrechte Höhe \(h\). Wenn nur \(h\) gegeben ist, brauchst du oft den Satz des Pythagoras, um \(s\) zu finden.
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Mantelfläche beim Prisma
Ein gerades Prisma hat gleiche Seitenflächen, die du als Rechtecke sehen kannst. Die Mantelfläche ist Umfang der Grundfläche mal Höhe.
Prismamantel
Bei einem geraden Prisma gilt für die Mantelfläche \(M=U_G\cdot h\), also Umfang der Grundfläche mal Körperhöhe.
Ein dreieckiges Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck mit Seiten \(3\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). Die Höhe des Prismas ist \(8\,\text{cm}\).
Umfang der Grundfläche:
\(U_G=3+4+5=12\,\text{cm}\)
Mantelfläche:
\(M=12\cdot8=96\,\text{cm}^2\)
Beim Prisma brauchst du den Umfang der Grundfläche, nicht ihren Flächeninhalt.
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Prüfungsmodus: Welche Fläche ist gesucht?
Lies genau, ob Mantelfläche, Grundfläche oder Oberfläche gesucht ist.
"Eine Dose soll ein Etikett bekommen" bedeutet Mantelfläche.
"Die Dose soll komplett lackiert werden" bedeutet Oberfläche.
Ein Zylinder hat \(r=2\,\text{cm}\) und \(h=7\,\text{cm}\).
Mantel:
\(M=2\pi\cdot2\cdot7=28\pi\).
Oberfläche:
\(O=M+2\pi r^2=28\pi+8\pi=36\pi\).
Signalwörter: Etikett, Seitenfläche und außen herum deuten oft auf Mantelfläche.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Mantelfläche ist die seitliche Fläche eines Körpers. Beim Zylinder gilt \(M=2\pi rh\), beim Kegel \(M=\pi rs\), und beim geraden Prisma \(M=U_Gh\).
Achte immer darauf, ob wirklich nur der Mantel oder die ganze Oberfläche gesucht ist.