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Mantelfläche berechnen: Formeln und Beispiele
Die Mantelfläche ist die seitliche Fläche eines Körpers. Grund- und Deckflächen gehören nicht dazu. Bei einem Kegel oder einer Pyramide wird nur die Grundfläche ausgeschlossen, weil es keine Deckfläche gibt.
Auf dieser Seite lernst du, den Mantel in einem Körpernetz zu erkennen, passende Formeln auszuwählen und Ergebnisse mit Flächeneinheiten anzugeben.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was gehört zur Mantelfläche?
Stell dir vor, du entfernst bei einer Konservendose Boden und Deckel. Die übrig gebliebene Seitenwand ist der Mantel. Ihr Flächeninhalt heißt Mantelfläche und wird meist mit $M$ bezeichnet.
Mantelfläche
Die Mantelfläche ist der Flächeninhalt aller seitlichen Flächen eines Körpers. Grund- und gegebenenfalls Deckfläche werden nicht mitgerechnet.
Beim Abwickeln entsteht ein Körpernetz. Darin kannst du die Teile leichter unterscheiden:
- Beim Prisma bilden Rechtecke oder Parallelogramme den Mantel.
- Beim geraden Zylinder wird der Mantel zu einem Rechteck.
- Bei der Pyramide besteht der Mantel aus Dreiecken.
- Beim Kegel ist der abgewickelte Mantel ein Kreissektor.
Die Mantelfläche ist nicht dasselbe wie die gesamte Oberfläche. Für Prisma und Zylinder gilt $O=2G+M$, weil sie eine Grund- und eine Deckfläche besitzen. Für Pyramide und Kegel gilt $O=G+M$.
Wie berechnest du den Mantel eines Prismas?
Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht auf der Grundfläche. Wickelst du seinen Mantel ab, liegen die Seitenflächen nebeneinander. Ihre gesamte Breite entspricht dem Umfang $U_G$ der Grundfläche. Ihre Höhe ist die Prismenhöhe $h$.
Deshalb gilt:
$$M=U_G\cdot h$$
Ein gerades Dreiecksprisma hat eine Grundfläche mit den Seitenlängen $3\,\mathrm{cm}$, $4\,\mathrm{cm}$ und $5\,\mathrm{cm}$. Die Prismenhöhe beträgt $8\,\mathrm{cm}$.
Zuerst berechnest du den Umfang der Grundfläche:
$$U_G=3\,\mathrm{cm}+4\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm}$$
Dann multiplizierst du Umfang und Prismenhöhe:
$$M=12\,\mathrm{cm}\cdot8\,\mathrm{cm}=96\,\mathrm{cm^2}$$
Die Mantelfläche des Prismas beträgt $96\,\mathrm{cm^2}$. Die Einheit ist quadratisch, weil eine Fläche berechnet wurde.
Warum ist der Zylindermantel ein Rechteck?
Schneidest du den Mantel eines geraden Zylinders entlang einer geraden Linie auf und rollst ihn ab, entsteht ein Rechteck:
- Seine Länge ist der Kreisumfang $U=2\pi r$.
- Seine Breite ist die Zylinderhöhe $h$.
Damit gilt:
$$M=U\cdot h=2\pi r\cdot h$$
Ein gerader Zylinder hat den Radius $r=3\,\mathrm{cm}$ und die Höhe $h=5\,\mathrm{cm}$.
Zuerst bestimmst du den Umfang des Grundkreises:
$$U=2\pi\cdot3\,\mathrm{cm}=6\pi\,\mathrm{cm}$$
Nun berechnest du die Rechtecksfläche des abgewickelten Mantels:
$$M=6\pi\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Der exakte Flächeninhalt des Mantels beträgt $30\pi\,\mathrm{cm^2}$.
Ist statt des Radius der Durchmesser $d$ gegeben, halbiere ihn zuerst: $r=\frac d2$. Verwechsle außerdem die Höhe $h$ nicht mit dem Radius.
Wie funktionieren Pyramide, Kegel und Kegelstumpf?
Pyramide
Der Mantel einer Pyramide besteht aus ihren dreieckigen Seitenflächen. Du berechnest jede Dreiecksfläche und addierst die Ergebnisse.
Bei einer regelmäßigen quadratischen Pyramide sind die vier Manteldreiecke gleich groß. Mit der Grundkante $a$ und der Seitenhöhe $s_a$ gilt:
$$M=4\cdot\frac12a\cdot s_a=2a\cdot s_a$$
Für $a=6\,\mathrm{cm}$ und $s_a=5\,\mathrm{cm}$ erhältst du:
$$M=4\cdot\frac12\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=60\,\mathrm{cm^2}$$
Die senkrechte Körperhöhe darf hier nicht einfach anstelle der Seitenhöhe eingesetzt werden. Die Seitenhöhe liegt in einem Manteldreieck.
Kegel
Beim geraden Kegel heißt die Strecke von der Spitze bis zum Rand des Grundkreises Mantellinie $s$. Der abgewickelte Mantel ist ein Kreissektor. Seine Fläche lautet:
$$M=\pi r s$$
Für $r=4\,\mathrm{cm}$ und $s=7\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$M=\pi\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot7\,\mathrm{cm}=28\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Vertiefung: Kegelstumpf
Ein Kegelstumpf entsteht, wenn ein Kegel parallel zur Grundfläche abgeschnitten wird. Er besitzt die Radien $r_1$ und $r_2$. Die Mantellinie zwischen den beiden Kreisrändern wird hier mit $m$ bezeichnet.
$$M=\pi(r_1+r_2)m$$
Für $r_1=5\,\mathrm{cm}$, $r_2=3\,\mathrm{cm}$ und $m=4\,\mathrm{cm}$ folgt:
$$M=\pi(5+3)\cdot4\,\mathrm{cm^2}=32\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Wie löst du Sachaufgaben sicher?
Gehe in vier Schritten vor:
- Entscheide, welche Flächen tatsächlich gesucht sind.
- Notiere die benötigten Maße in derselben Längeneinheit.
- Wähle die Formel für den passenden Körper.
- Prüfe Ergebnis, Flächeneinheit und Sachzusammenhang.
Eine offene zylinderförmige Dose mit Radius $4\,\mathrm{cm}$ und Höhe $10\,\mathrm{cm}$ soll nur an der Seitenwand mit Papier beklebt werden.
Gesucht ist ausschließlich die Mantelfläche. Ein Kreis wird nicht hinzugerechnet:
$$M=2\pi r h=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot10\,\mathrm{cm}=80\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Für die Seitenwand werden also genau $80\pi\,\mathrm{cm^2}$ Papier benötigt. In der Praxis wäre für Überlappung oder Verschnitt zusätzliches Material nötig; diese Zugabe gehört nicht zur geometrischen Mantelfläche.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mantelfläche
- ohne Grund- und Deckflächen
- Prisma: Grundflächenumfang mal Höhe
- Zylinder: Kreisumfang mal Höhe
- Pyramide: Dreiecksflächen addieren
- Kegel: Radius mal Mantellinie mal $\pi$
- Kegelstumpf: Radiensumme mal Mantellinie mal $\pi$
- Ergebnis immer als Flächeneinheit
Abschluss-Check
Wenn du einen Körper abwickelst und zuerst klärst, welche Flächen gesucht sind, kannst du die passende Mantelformel meist direkt aus dem entstehenden Netz verstehen.