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Würfeloberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Die Oberfläche eines Würfels ist die Summe seiner sechs gleich großen quadratischen Seitenflächen. Hat jede Kante die Länge $a$, gilt deshalb $O=6a^2$. Du berechnest zuerst die Fläche eines Quadrats und nimmst sie sechsmal.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was gehört zur Oberfläche?
Stell dir einen geschlossenen Spielwürfel vor. Alles, was du außen berühren kannst, gehört zu seiner Oberfläche. Klappst du die sechs Seiten zu einem Körpernetz auseinander, siehst du sechs gleich große Quadrate.
Oberfläche
Der Oberflächeninhalt $O$ ist die Summe aller äußeren Flächen eines Körpers. Beim Würfel sind das sechs gleich große Quadrate.
Die Oberfläche beschreibt also zum Beispiel, wie viel Material du zum vollständigen Einpacken brauchst. Sie ist nicht das Volumen: Das Volumen beschreibt den Raum im Inneren.
Warum lautet die Formel $O=6a^2$?
Jede Seitenfläche ist ein Quadrat. Für ein Quadrat mit der Kantenlänge $a$ gilt:
$$A=a\cdot a=a^2$$
Der Würfel besitzt sechs solcher Flächen. Deshalb ist seine Oberfläche:
$$O=6\cdot A=6a^2$$
Eine Quadratfläche berechnen, dann mit 6 multiplizieren: $O=6a^2$.
Weil du Länge mal Länge rechnest, brauchst du eine Flächeneinheit. Aus Zentimeter mal Zentimeter wird Quadratzentimeter: $\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^2}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein Würfel hat gleich große Seitenflächen. Jede Seitenfläche ist ein . Bei der Kantenlänge in Zentimetern steht die Oberfläche in .
Wie rechnest du Schritt für Schritt?
Gegeben ist ein Würfel mit $a=5\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist die Oberfläche $O$.
1. Fläche einer Seite berechnen:
$$A=5\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=25\,\mathrm{cm^2}$$
2. Alle sechs Seiten zusammenfassen:
$$O=6\cdot25\,\mathrm{cm^2}=150\,\mathrm{cm^2}$$
3. Ergebnis prüfen: Sechs Flächen zu je $25\,\mathrm{cm^2}$ ergeben $150\,\mathrm{cm^2}$. Die Einheit ist quadratisch. Der Würfel hat eine Oberfläche von $150\,\mathrm{cm^2}$.
Du kannst auch direkt einsetzen:
$$O=6\cdot(5\,\mathrm{cm})^2=150\,\mathrm{cm^2}$$
Wie vermeidest du typische Fehler?
Prüfe deine Rechnung mit drei Fragen:
- Habe ich quadriert? $6a$ zählt Kantenlängen, aber keine Quadratflächen.
- Habe ich alle sechs Flächen erfasst? Ein Würfel hat sechs Seiten, nicht vier.
- Ist die Einheit quadratisch? Für Oberflächen passen zum Beispiel $\mathrm{cm^2}$ und $\mathrm{m^2}$, nicht $\mathrm{cm}$ oder $\mathrm{cm^3}$.
Verdoppelst du die Kantenlänge, vervierfacht sich die Oberfläche:
$$O_{neu}=6(2a)^2=24a^2=4\cdot6a^2$$
Das liegt am Quadrat in der Formel. Doppelte Länge bedeutet bei jeder Seitenfläche vierfache Fläche.
Manchmal ist die Oberfläche gegeben. Bei $O=150\,\mathrm{cm^2}$ teilst du zuerst durch 6:
$$a^2=150\,\mathrm{cm^2}:6=25\,\mathrm{cm^2}$$
Gesucht ist die positive Kantenlänge, deren Quadrat 25 ist. Daher gilt $a=5\,\mathrm{cm}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Würfeloberfläche
- Aufbau: sechs gleich große Quadrate
- Seitenfläche: $A=a^2$
- Gesamtfläche: $O=6a^2$
- Einheit: quadratisch
- Kontrolle: quadrieren, sechs Flächen zählen, Einheit prüfen