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Polygon (Vieleck): Eigenschaften und Formeln
Polygone erkennen, einordnen und berechnen
Ein Polygon, auch Vieleck, ist eine ebene, geschlossene Figur aus geraden Strecken. Es besitzt gleich viele Seiten wie Ecken. Dreiecke, Vierecke und Fünfecke sind also Polygone.
Auf dieser Seite lernst du, Polygone zu erkennen und zu benennen. Außerdem unterscheidest du wichtige Polygonarten und berechnest Winkel, Diagonalen, Umfang und Flächeninhalt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Polygone erkennen und benennen
Stell dir vor, du zeichnest mehrere gerade Strecken hintereinander. Endet die letzte Strecke wieder am Anfangspunkt, entsteht ein geschlossener Streckenzug.
Polygon
Ein Polygon ist eine ebene, geschlossene Figur, deren Rand nur aus geraden Strecken besteht. Die Strecken heißen Seiten, ihre Endpunkte Ecken. Ein Polygon hat mindestens drei Seiten und drei Ecken.
Eine geschlossene Figur mit einer gebogenen Randlinie ist kein Polygon. Auch ein nur teilweise gezeichneter Streckenzug ist kein Polygon, weil er nicht geschlossen ist.
Polygone werden nach der Zahl ihrer Seiten und Ecken benannt:
| Seiten und Ecken | Name |
|---|---|
| 3 | Dreieck |
| 4 | Viereck |
| 5 | Fünfeck |
| 6 | Sechseck |
| 7 | Siebeneck |
| 8 | Achteck |
| $n$ | $n$-Eck |
Bei jedem Polygon gilt: Anzahl der Seiten = Anzahl der Ecken.
Polygone sicher einordnen
Nicht jedes Polygon sieht gleich aus. Für die Einordnung prüfst du Seitenlängen, Winkel und mögliche Schnittpunkte der Seiten.
Regelmäßiges Polygon
Ein Polygon ist regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Fehlt mindestens eine dieser Bedingungen, ist es unregelmäßig.
Gleich lange Seiten allein reichen also nicht aus. Ebenso machen gleich große Winkel allein ein Polygon noch nicht regelmäßig.
Regelmäßige Polygone mit derselben Seitenzahl können verschieden groß sein. Sie haben dann dieselbe Form, müssen aber nicht dieselbe Seitenlänge oder Fläche besitzen.
Bei einem einfachen Polygon treffen sich die Seiten nur an ihren gemeinsamen Eckpunkten. Schneiden sich zwei Seiten zusätzlich, ist das Polygon überschlagen.
Einfache Polygone lassen sich weiter unterscheiden:
- Konvex: Alle Innenwinkel sind kleiner als $180^\circ$. Jede Diagonale verläuft innerhalb der Figur oder auf ihrem Rand.
- Konkav: Mindestens ein Innenwinkel ist größer als $180^\circ$. Mindestens eine Diagonale verläuft teilweise außerhalb der Figur.
Besitzt ein einfaches Fünfeck einen Innenwinkel von $220^\circ$, ist es konkav. Ein einziger Innenwinkel über $180^\circ$ genügt für diese Entscheidung.
Innenwinkel berechnen
Wie hängt die Innenwinkelsumme von der Eckenzahl ab? Bei einem konvexen $n$-Eck kannst du von einer Ecke aus Diagonalen zu allen nicht benachbarten Ecken ziehen. Dadurch entstehen genau $n-2$ Dreiecke.
Jedes Dreieck hat die Winkelsumme $180^\circ$. Deshalb gilt für ein einfaches, nicht überschlagenes $n$-Eck:
$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ$$
Dabei bezeichnet $S_n$ die Summe aller Innenwinkel.
Ein Fünfeck zerfällt in $5-2=3$ Dreiecke. Daher beträgt seine Innenwinkelsumme
$$S_5=3\cdot180^\circ=540^\circ.$$
Das gilt für regelmäßige und unregelmäßige einfache Fünfecke.
Bei einem regelmäßigen Polygon sind alle Innenwinkel gleich groß. Du teilst deshalb die Winkelsumme durch die Zahl $n$ der Winkel:
$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$
Der zugehörige Außenwinkel beträgt
$$\alpha'=\frac{360^\circ}{n}.$$
Innenwinkel und Außenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$.
Für ein regelmäßiges Achteck gilt:
- Innenwinkelsumme: $S_8=(8-2)\cdot180^\circ=1080^\circ$.
- Ein Innenwinkel: $\alpha=1080^\circ:8=135^\circ$.
- Ein Außenwinkel: $\alpha'=360^\circ:8=45^\circ$.
Die Kontrolle passt: $135^\circ+45^\circ=180^\circ$.
Erst berechnest du die gesamte Innenwinkelsumme. Nur bei einem regelmäßigen Polygon darfst du sie durch $n$ teilen, um einen einzelnen Innenwinkel zu erhalten.
Diagonalen, Umfang und Fläche bestimmen
Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Von jeder Ecke eines $n$-Ecks führen $n-3$ Diagonalen weg: Die Ecke selbst und ihre beiden Nachbarecken scheiden als Ziele aus.
Damit werden zunächst $n(n-3)$ Verbindungen gezählt. Jede Diagonale erscheint dabei zweimal, nämlich von beiden Endpunkten aus. Deshalb musst du durch $2$ teilen:
$$d_n=\frac{n(n-3)}{2}.$$
Ein Siebeneck besitzt
$$d_7=\frac{7(7-3)}{2}=\frac{28}{2}=14$$
Diagonalen.
Der Umfang ist die Summe aller Seitenlängen. Bei einem regelmäßigen $n$-Eck mit Seitenlänge $a$ gilt besonders einfach:
$$U=n\cdot a.$$
Für den Flächeninhalt eines allgemeinen Polygons gibt es nicht immer eine einzige passende Grundformel. Häufig zerlegst du es in bekannte Figuren oder ergänzt es zu einer größeren Figur.
Ein Polygon füllt ein Rechteck mit den Seitenlängen $6\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ bis auf ein ausgeschnittenes rechtwinkliges Dreieck aus. Das Dreieck hat Grundseite $2\,\text{cm}$ und Höhe $2\,\text{cm}$.
- Rechteckfläche: $6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2$.
- Dreiecksfläche: $\frac12\cdot2\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=2\,\text{cm}^2$.
- Polygonfläche: $24\,\text{cm}^2-2\,\text{cm}^2=22\,\text{cm}^2$.
Die Einheit $\text{cm}^2$ zeigt, dass eine Fläche und keine Länge berechnet wurde.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Polygon
- Aufbau: geschlossen, eben und aus geraden Seiten
- Benennung: $n$ Seiten und $n$ Ecken ergeben ein $n$-Eck
- Form: konvex, konkav oder überschlagen
- Regelmäßigkeit: gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel
- Winkel: $n-2$ Dreiecke liefern die Innenwinkelsumme
- Diagonalen: Eckpunktverbindungen werden ohne Doppelzählung erfasst
- Größen: Umfang durch Addieren, Fläche durch Zerlegen oder Ergänzen