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Sechseck: Eigenschaften, Formeln und Konstruktion
Ein Sechseck ist ein Vieleck mit sechs Ecken und sechs Seiten. Bei einem regelmäßigen Sechseck sind außerdem alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Seine besondere Zerlegung in sechs gleichseitige Dreiecke macht Berechnungen und Konstruktionen einfach.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Sechseck?
Sechseck
Ein Sechseck, auch Hexagon genannt, ist ein Vieleck mit genau sechs Ecken und sechs Seiten. Seine Seiten und Winkel müssen nicht gleich groß sein.
Die Begriffe unterscheiden sich so:
- allgemeines Sechseck: sechs Ecken und sechs Seiten
- gleichseitiges Sechseck: zusätzlich sechs gleich lange Seiten
- regelmäßiges Sechseck: sechs gleich lange Seiten und sechs gleich große Innenwinkel
Eine Figur mit sechs Seiten ist auch dann ein Sechseck, wenn eine Seite länger als die anderen ist. Sie ist dann aber nicht regelmäßig.
Wie groß sind die Innenwinkel?
Die Summe der sechs Innenwinkel eines Sechsecks beträgt
$$720^\circ.$$
Beim regelmäßigen Sechseck sind alle sechs Innenwinkel gleich groß. Deshalb teilst du die Winkelsumme durch sechs:
$$\frac{720^\circ}{6}=120^\circ.$$
Die Winkelsumme beträgt $720^\circ$. Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks beträgt $120^\circ$.
Warum helfen sechs gleichseitige Dreiecke?
Verbinde beim regelmäßigen Sechseck den Mittelpunkt mit allen sechs Ecken. Dadurch entstehen sechs kongruente, also deckungsgleiche, gleichseitige Dreiecke.
Die Seitenlänge des Sechsecks sei $a$. Dann ist auch der Umkreisradius $R$, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke, genau $a$ lang:
$$R=a.$$
Die Höhe eines Teildreiecks ist zugleich der Inkreisradius $r$, also der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zu einer Seite. Mit dem Satz des Pythagoras erhältst du:
$$a^2=r^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
und damit
$$r=\frac{\sqrt3}{2}a.$$
Beim regelmäßigen Sechseck gilt: Seitenlänge und Umkreisradius sind gleich groß.
Wie berechnest du die Größen?
Für alle folgenden Formeln muss das Sechseck regelmäßig sein.
| Größe | Bedeutung | Formel |
|---|---|---|
| Umfang $U$ | Länge aller sechs Seiten | $U=6a$ |
| Fläche $A$ | Fläche der sechs Teildreiecke | $A=\frac{3\sqrt3}{2}a^2$ |
| Umkreisradius $R$ | Mittelpunkt bis Ecke | $R=a$ |
| Inkreisradius $r$ | Mittelpunkt bis Seite | $r=\frac{\sqrt3}{2}a$ |
| Abstand $D_e$ | zwischen gegenüberliegenden Ecken | $D_e=2a$ |
| Abstand $D_f$ | zwischen gegenüberliegenden Seiten | $D_f=\sqrt3a$ |
Die Flächenformel folgt aus den sechs gleichseitigen Dreiecken. Ein Dreieck besitzt die Grundseite $a$ und die Höhe $r$:
$$A=6\cdot\frac{a\cdot r}{2}=6\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}a=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$
Ein regelmäßiges Sechseck hat die Seitenlänge $a=4\,\text{cm}$.
Der Umfang ist
$$U=6\cdot4\,\text{cm}=24\,\text{cm}.$$
Die Fläche ist
$$A=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot(4\,\text{cm})^2=24\sqrt3\,\text{cm}^2.$$
Der Umkreisradius und der Abstand gegenüberliegender Ecken sind
$$R=4\,\text{cm},\qquad D_e=8\,\text{cm}.$$
Der Inkreisradius und der Abstand gegenüberliegender Seiten sind
$$r=2\sqrt3\,\text{cm},\qquad D_f=4\sqrt3\,\text{cm}.$$
Die Einheiten passen: Längen stehen in Zentimetern, die Fläche in Quadratzentimetern.
Wie konstruierst du ein regelmäßiges Sechseck?
Du brauchst einen Zirkel, ein Lineal und einen Kreis. Entscheidend ist die Beziehung $R=a$: Der Kreisradius ist genauso lang wie eine Sechseckseite.
- Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $M$.
- Wähle einen Punkt auf dem Kreis als erste Ecke.
- Lass die Zirkelöffnung unverändert auf dem Kreisradius eingestellt.
- Trage diese Länge sechsmal nacheinander auf dem Kreisrand ab.
- Verbinde benachbarte Punkte mit dem Lineal.
So entstehen sechs gleich lange Seiten. Die sechs Eckpunkte liegen gleichmäßig auf dem Umkreis.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
- Verwende die Formeln nicht für ein beliebiges unregelmäßiges Sechseck.
- Verwechsle den Innenwinkel $120^\circ$ nicht mit den $60^\circ$ in den gleichseitigen Teildreiecken.
- Unterscheide den Umkreisradius $R=a$ vom Inkreisradius $r=\frac{\sqrt3}{2}a$.
- Schreibe bei Flächen eine Quadrateinheit, zum Beispiel $\text{cm}^2$.
- Verwechsle $D_e=2a$ nicht mit $D_f=\sqrt3a$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein regelmäßiges Sechseck hat gleich lange Seiten. Jeder Innenwinkel beträgt . Sein Umkreisradius ist . Für den Umfang gilt . Eine Fläche wird beispielsweise in angegeben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sechseck
- Erkennen: sechs Ecken und sechs Seiten
- Regelmäßig: gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel
- Winkel: Summe $720^\circ$, einzeln $120^\circ$
- Zerlegung: sechs gleichseitige Dreiecke
- Berechnen: Umfang, Fläche, Radien und Abstände
- Konstruieren: Kreisradius sechsmal abtragen
Abschluss-Check
Du kannst ein Sechseck nun über seine Eigenschaften einordnen. Beim regelmäßigen Sechseck führt die Zerlegung in sechs gleichseitige Dreiecke zu allen wichtigen Formeln und erklärt zugleich die Zirkelkonstruktion.