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Diagonale berechnen: Rechteck, Quadrat und Quader
Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken einer Figur. In Rechtecken, Quadraten und Quadern kannst du ihre Länge mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Diagonale?
Bei einem Vieleck sind zwei Ecken benachbart, wenn eine Seite sie direkt verbindet. Verbindest du dagegen zwei nicht benachbarte Ecken, entsteht eine Diagonale.
Diagonale
Eine Diagonale ist eine Strecke zwischen zwei nicht benachbarten Ecken einer ebenen Figur oder eines Körpers. Ein Dreieck besitzt keine Diagonale, weil dort jede Ecke mit den beiden anderen durch Seiten verbunden ist.
Ein Viereck besitzt zwei Diagonalen. Sie verbinden jeweils zwei gegenüberliegende Ecken. In einem Rechteck und in einem Quadrat sind beide Diagonalen gleich lang und halbieren einander.
Beim Quadrat gilt zusätzlich: Die Diagonalen schneiden sich im rechten Winkel. Bei einem gewöhnlichen Rechteck müssen sie dagegen nicht senkrecht zueinander sein.
Wie viele Diagonalen hat ein Vieleck?
Von jeder Ecke eines Vielecks mit $n$ Ecken kannst du Diagonalen zu $n-3$ Ecken zeichnen. Die Ecke selbst und ihre beiden Nachbarecken scheiden aus.
Dabei wird jede Diagonale von ihren beiden Endpunkten aus gezählt. Deshalb musst du das Zwischenergebnis durch $2$ teilen:
$$N_D=\frac{n(n-3)}{2}$$
$N_D$ bezeichnet die Anzahl der Diagonalen.
Ein Achteck hat $n=8$ Ecken.
$$N_D=\frac{8(8-3)}{2}=\frac{8\cdot5}{2}=20$$
Das Achteck besitzt also 20 Diagonalen. Die Division durch $2$ verhindert, dass jede Verbindung doppelt gezählt wird.
Wie berechnest du eine Rechteck- oder Quadratdiagonale?
Die Diagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seitenlängen $a$ und $b$ sind die Katheten, die Diagonale $d$ ist die Hypotenuse.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$$d^2=a^2+b^2$$
Ziehst du die positive Quadratwurzel, erhältst du:
$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$
Ein Rechteck ist $3\,\mathrm{cm}$ lang und $4\,\mathrm{cm}$ breit.
$$d=\sqrt{(3\,\mathrm{cm})^2+(4\,\mathrm{cm})^2}$$
$$d=\sqrt{9\,\mathrm{cm}^2+16\,\mathrm{cm}^2}=\sqrt{25\,\mathrm{cm}^2}=5\,\mathrm{cm}$$
Die Diagonale ist $5\,\mathrm{cm}$ lang. Die Einheit passt: Aus der Wurzel von Quadratzentimetern werden wieder Zentimeter.
Bei einem Quadrat sind beide Seiten gleich lang: $a=b$. Daher vereinfacht sich die Formel:
$$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$$
Für ein Rechteck gilt $d=\sqrt{a^2+b^2}$. Für ein Quadrat gilt wegen $a=b$ die kürzere Formel $d=a\sqrt2$.
Wie unterscheidest du Flächen- und Raumdiagonalen?
Eine Flächendiagonale liegt vollständig auf einer Seitenfläche eines Körpers. Bei einem Quader berechnest du sie wie die Diagonale eines Rechtecks.
Eine Raumdiagonale verläuft durch das Innere des Körpers. Sie verbindet zwei gegenüberliegende Ecken, die weder durch eine Kante noch durch eine Flächendiagonale verbunden sind.
Für einen Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ gilt:
$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
Die Formel entsteht durch zweimaliges Anwenden des Satzes des Pythagoras: Zuerst berechnest du eine Flächendiagonale aus $a$ und $b$. Danach bildet sie zusammen mit $c$ ein weiteres rechtwinkliges Dreieck.
Ein Quader hat die Kantenlängen $2\,\mathrm{cm}$, $3\,\mathrm{cm}$ und $6\,\mathrm{cm}$.
$$d=\sqrt{(2\,\mathrm{cm})^2+(3\,\mathrm{cm})^2+(6\,\mathrm{cm})^2}$$
$$d=\sqrt{4+9+36}\,\mathrm{cm}=\sqrt{49}\,\mathrm{cm}=7\,\mathrm{cm}$$
Die Raumdiagonale ist $7\,\mathrm{cm}$ lang.
Bei einem Würfel sind alle drei Kanten gleich lang. Mit $a=b=c$ folgt:
$$d=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3$$
Wie berechnest du eine fehlende Seite rückwärts?
Sind eine Rechteckdiagonale und eine Seite bekannt, stellst du den Satz des Pythagoras um.
Aus
$$d^2=a^2+b^2$$
wird für die gesuchte Seite $b$:
$$b=\sqrt{d^2-a^2}$$
Ein Rechteck hat die Diagonale $d=5\,\mathrm{cm}$ und die Seite $a=3\,\mathrm{cm}$.
$$b=\sqrt{(5\,\mathrm{cm})^2-(3\,\mathrm{cm})^2}$$
$$b=\sqrt{25-9}\,\mathrm{cm}=\sqrt{16}\,\mathrm{cm}=4\,\mathrm{cm}$$
Die fehlende Seite ist $4\,\mathrm{cm}$ lang. Zur Kontrolle gilt $3^2+4^2=5^2$.
Bei einem Quadrat kannst du aus $d=a\sqrt2$ direkt die Seitenlänge bestimmen:
$$a=\frac{d}{\sqrt2}$$
Für $d=4\,\mathrm{cm}$ erhältst du $a=4:\sqrt2\,\mathrm{cm}\approx2{,}83\,\mathrm{cm}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Diagonale die . Um eine fehlende Rechteckseite zu berechnen, werden die Quadrate der bekannten Längen . Bei einem Quadrat erhältst du die Seitenlänge durch .
Die Formel $d=\sqrt{a^2+b^2}$ gilt für Rechtecke, weil ihre Seiten einen rechten Winkel bilden. Für ein beliebiges Viereck darfst du sie nicht ungeprüft verwenden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Diagonale
- Bedeutung: verbindet nicht benachbarte Ecken
- Anzahl im Vieleck: $N_D=\frac{n(n-3)}2$
- Rechteck: $d=\sqrt{a^2+b^2}$
- Quadrat: $d=a\sqrt2$
- Quader: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
- Würfel: $d=a\sqrt3$
- Rückwärtsrechnung: bekannte Quadrate subtrahieren
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Aufgabe zum Schluss: Passt die Formel zur Figur, stimmen die Einheiten und ist die Diagonale plausibel länger als jede verwendete Kathete?