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Horner-Schema: Polynome schnell berechnen
Mit dem Horner-Schema wertest du ein Polynom durch wiederholtes Multiplizieren und Addieren aus. Dieselbe Rechnung zeigt bei einem Divisor $x-c$ zugleich den Quotienten und den Rest. Ist der Rest $0$, ist $c$ eine Nullstelle.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So bereitest du das Polynom vor
Bevor du rechnest, ordnest du das Polynom nach absteigenden Potenzen. Für jede fehlende Potenz setzt du den Koeffizienten $0$ ein.
Beim Polynom
$$P(x)=2x^3-5$$
musst du deshalb auch die fehlenden Terme sichtbar machen:
$$P(x)=2x^3+0x^2+0x-5.$$
Die Koeffizientenfolge lautet also $2, 0, 0, -5$.
Wenn du durch $x-c$ teilst, trägst du links den Wert $c$ ein. Achte besonders auf das Vorzeichen:
- Bei $x-3$ ist $c=3$.
- Bei $x+3=x-(-3)$ ist $c=-3$.
Ordnen, Lücken mit $0$ füllen und das Vorzeichen von $c$ prüfen: Diese Vorbereitung verhindert die häufigsten Fehler.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $4x^3-7x+2$ lautet die vollständige Form . Die Koeffizienten sind . Beim Divisor $x+2$ trägst du ein. Beim Divisor $x-5$ trägst du ein.
So berechnest du einen Funktionswert
Für einen Wert $x=c$ folgt das Schema immer demselben Rhythmus:
- Übernimm den ersten Koeffizienten.
- Multipliziere den bisherigen Wert mit $c$.
- Addiere den nächsten Koeffizienten.
- Wiederhole Multiplizieren und Addieren bis zum Ende.
Berechne $f(2)$ für
$$f(x)=3x^4-4x^2-2x+9.$$
Zuerst ergänzt du den fehlenden Term:
$$f(x)=3x^4+0x^3-4x^2-2x+9.$$
Du verwendest also $3,0,-4,-2,9$ und rechnest mit $c=2$:
- Startwert: $3$
- $3\cdot2+0=6$
- $6\cdot2-4=8$
- $8\cdot2-2=14$
- $14\cdot2+9=37$
Der letzte Wert ist der gesuchte Funktionswert: $f(2)=37$.
Die verschachtelte Rechnung benötigt keine getrennte Berechnung von $2^2$, $2^3$ und $2^4$. Das macht das Verfahren besonders kompakt.
So teilst du durch einen Linearfaktor
Bei der Division durch $x-c$ hat die Horner-Rechnung eine zweite Bedeutung:
$$P(x)=(x-c)Q(x)+r.$$
Die unteren Werte außer dem letzten sind die Koeffizienten des Quotienten $Q(x)$. Der letzte Wert ist der Rest $r$. Gleichzeitig gilt:
$$r=P(c).$$
Der Quotient hat einen Grad weniger als das Ausgangspolynom.
Teile
$$P(x)=x^3-3x^2+2$$
durch $x-1$. Der fehlende $x$-Term erhält den Koeffizienten $0$.
| Schritt | 1 | $-3$ | 0 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| Produkte mit $c=1$ | 1 | $-2$ | $-2$ | |
| Ergebnisse | 1 | $-2$ | $-2$ | 0 |
Die ersten drei Ergebnisse gehören zu einem quadratischen Quotienten:
$$Q(x)=x^2-2x-2.$$
Der letzte Wert ist der Rest $0$. Daher gilt:
$$P(x)=(x-1)(x^2-2x-2).$$
Die letzte Zahl beantwortet zwei Fragen gleichzeitig: Sie ist der Divisionsrest und der Funktionswert $P(c)$.
So nutzt du das Schema für Nullstellen
Eine Zahl $c$ ist genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn $P(c)=0$ gilt. Weil der letzte Horner-Wert zugleich $P(c)$ und der Rest ist, erhältst du die wichtige Verbindung:
$$P(c)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad r=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-c\text{ ist ein Faktor von }P.$$
Bestimme die Nullstellen von
$$P(x)=x^3-7x-6.$$
Du ergänzt zuerst $0x^2$ und prüfst $c=-1$ mit den Koeffizienten $1,0,-7,-6$:
- Startwert: $1$
- $1\cdot(-1)+0=-1$
- $(-1)\cdot(-1)-7=-6$
- $(-6)\cdot(-1)-6=0$
Der Rest ist $0$. Also ist $-1$ eine Nullstelle und $x+1$ ein Faktor. Die vorherigen Werte ergeben
$$Q(x)=x^2-x-6.$$
Das quadratische Polynom lässt sich faktorisieren:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$
Damit gilt
$$P(x)=(x+1)(x-3)(x+2).$$
Die Nullstellen sind $-2$, $-1$ und $3$.
Bei ganzzahligen Koeffizienten muss eine ganzzahlige Nullstelle das konstante Glied teilen. Das liefert mögliche Kandidaten, aber keine Garantie. Jeder Kandidat muss geprüft werden. Irrationale oder andere nicht ganzzahlige Nullstellen werden durch diese Kandidatenliste nicht erfasst.
So vermeidest du typische Fehler
Kontrolliere deine Rechnung in dieser Reihenfolge:
- Stehen die Potenzen absteigend?
- Ist jede fehlende Potenz durch $0$ vertreten?
- Hast du den Divisor als $x-c$ gelesen und das richtige $c$ eingesetzt?
- Hast du den ersten Koeffizienten unverändert übernommen?
- Wechselst du konsequent zwischen Multiplizieren und Addieren?
- Liest du den letzten Wert als Rest und die vorherigen Werte als Quotientenkoeffizienten?
- Beginnt der Quotient mit einer um $1$ kleineren Potenz?
Das gewöhnliche schulische Horner-Schema ist für Divisoren der Form $x-c$ gedacht. Es kann dennoch mit jeder reellen oder komplexen Zahl $c$ rechnen; $c$ muss nicht ganzzahlig und nicht einmal eine Nullstelle sein. Ist $c$ keine Nullstelle, bleibt einfach ein von $0$ verschiedener Rest.
Für ein Polynom zweiten Grades ist ein quadratisches Lösungsverfahren meist direkter. Bei einem Muster wie $2x^4+4x^2-6$ kann die Substitution $u=x^2$ günstiger sein. Das Horner-Schema ist besonders nützlich, wenn du einen Funktionswert brauchst oder einen linearen Faktor prüfen und abspalten willst.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Horner-Schema
- Vorbereitung
- Polynom ordnen
- Nullkoeffizienten ergänzen
- Rechenregel
- ersten Koeffizienten übernehmen
- multiplizieren und addieren
- Funktionswert
- letzter Wert ist $P(c)$
- Division durch $x-c$
- vorherige Werte bilden $Q(x)$
- letzter Wert ist der Rest
- Nullstellen
- Rest 0 bestätigt $c$
- Faktor $x-c$ wird abgespalten
- Fehlerkontrolle
- Vorzeichen von $c$ prüfen
- Quotientengrad um 1 senken
- Vorbereitung
Abschluss-Check
Wenn du im Abschluss-Check sicher vorbereitet, gerechnet und interpretiert hast, kannst du das Horner-Schema sowohl zur Auswertung als auch zur linearen Polynomdivision und Nullstellenprüfung einsetzen.