Horner-Schema

Bei Polynomen können lange Einsetzungen schnell unübersichtlich werden. Das Horner-Schema ordnet die Rechnung so, dass du Werte und Polynomdivision sauber findest.

    :::lernziele
    - Ich kann Koeffizienten ins Horner-Schema eintragen.

• Ich kann Polynomwerte berechnen.

• Ich kann einen Linearfaktor abspalten.

• Ich kann den Rest deuten. :::

    ## Grundidee
  
    Statt jede Potenz einzeln auszurechnen, arbeitest du von links nach rechts: herunterziehen, multiplizieren, addieren. Der letzte Wert ist der Polynomwert.
  
    :::definition Horner-Schema
    Das **Horner-Schema** ist ein Rechenschema für Polynome. Es nutzt die Koeffizienten und einen eingesetzten Wert, um mit wenig Multiplikation zu rechnen.
    :::
  
    :::beispiel
    Für P(x)=2x^3-3x^2+4x-5 bei x=2: Starte mit 2. Dann 2 mal 2 plus -3 ergibt 1, 1 mal 2 plus 4 ergibt 6, 6 mal 2 minus 5 ergibt 7. Also P(2)=7.
    :::
  
    :::merke
    Letzter Horner-Wert gleich 0 bedeutet: Der getestete Wert ist eine Nullstelle.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Was zeigt der letzte Wert im Horner-Schema?
    + Den Polynomwert beziehungsweise Rest.
    - Immer die höchste Potenz. => Die anderen Werte bilden nur bei Rest 0 den Quotienten.
    ! Den Polynomwert beziehungsweise Rest. ist richtig.
    ?2 Was ist P(2) für 2x^3-3x^2+4x-5?
    + 7
    - 6 => Der letzte Schritt ist 6 mal 2 minus 5.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Ist der letzte Wert 0, dann ist x-a ein Faktor des Polynoms. Die vorherigen Ergebnisse sind die Koeffizienten des Restpolynoms.
  
    :::beispiel
    Bei x^3-6x^2+11x-6 und a=1 entsteht die Reihe 1, -5, 6, 0. Also bleibt x^2-5x+6 und der Rest ist 0.
    :::
  
    :::lueckentext
    Im Horner-Schema arbeitest du mit den {*Koeffizienten|Exponenten} des Polynoms.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    herunterziehen => erster Koeffizient

multiplizieren und addieren => Horner-Schritte Rest 0 => Linearfaktor gefunden :::

    :::mindmap
    Horner-Schema

Koeffizienten Wert einsetzen Rest prüfen Faktor abspalten :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Was prüfst du zuerst, wenn eine Nullstelle vermutet wird?
    + Ob der Horner-Rest 0 wird.
    - Ob alle Koeffizienten positiv sind. => Das Vorzeichen allein reicht nicht.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Das Horner-Schema spart Arbeit und senkt Fehler. Besonders stark ist es, wenn du Polynomwerte und Linearfaktoren prüfen musst.