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Grundfläche erkennen, berechnen und nutzen
Die Grundfläche ist eine ausgezeichnete Begrenzungsfläche eines geometrischen Körpers. Ihr Flächeninhalt wird meist mit $G$ bezeichnet. Zusammen mit der senkrechten Höhe $h$ brauchst du ihn zum Beispiel, um das Volumen von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist die Grundfläche?
Ein Körper wird von Flächen begrenzt. Eine davon kann als Grundfläche ausgezeichnet werden. Anschaulich ist das oft die Fläche, auf der der Körper steht. Die mathematische Benennung hängt jedoch nicht immer von der räumlichen Lage ab.
Grundfläche
Die Grundfläche ist eine bestimmte Begrenzungsfläche eines Körpers. Der Buchstabe $G$ bezeichnet gewöhnlich ihren Flächeninhalt, also ihre Größe in einer Flächeneinheit wie $\mathrm{cm}^2$.
Bei einem Prisma oder Zylinder gibt es zwei parallele, zusammengehörige Flächen: Grundfläche und Deckfläche. Du kannst ihre Bezeichnungen vertauschen. Eine Pyramide oder ein Kegel besitzt dagegen nur eine Grundfläche und eine Spitze.
Die Grundfläche ist eine Fläche des Körpers. $G$ ist der Flächeninhalt dieser Fläche. Verwechsle die Figur nicht mit ihrer messbaren Größe.
Wie berechnest du den Grundflächeninhalt?
Zuerst erkennst du die ebene Figur, welche die Grundfläche bildet. Danach verwendest du deren Flächenformel. Das Ergebnis erhält immer eine quadratische Einheit, zum Beispiel $\mathrm{cm}^2$ oder $\mathrm{m}^2$.
Wichtige Flächenformeln sind:
- Rechteck: $G=a\cdot b$
- Quadrat: $G=a^2$
- Dreieck: $G=\frac{1}{2}g\cdot h_g$
- Parallelogramm: $G=g\cdot h_g$
- Trapez: $G=\frac{(a+c)\cdot h}{2}$
- Kreis: $G=\pi r^2$
Beim Dreieck und Parallelogramm steht $h_g$ für die zur Grundseite $g$ gehörende Höhe. Grundseite und Höhe müssen senkrecht aufeinander stehen.
Ein Prisma besitzt eine rechteckige Grundfläche mit den Seitenlängen $6\,\mathrm{cm}$ und $4\,\mathrm{cm}$.
- Die Grundfläche ist ein Rechteck. Deshalb gilt $G=a\cdot b$.
- Setze die Seitenlängen ein:
$$G=6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm}^2$$
Der Grundflächeninhalt beträgt $24\,\mathrm{cm}^2$. Die Einheit passt, weil eine Fläche berechnet wurde.
Wie hängen Grundfläche, Höhe und Volumen zusammen?
Die Körperhöhe $h$ ist die Ausdehnung senkrecht zur Grundfläche. Bei einem schiefen Körper ist deshalb nicht eine schräge Kante, sondern der senkrechte Abstand entscheidend.
Für Prismen und Zylinder gilt:
$$V=G\cdot h$$
Für Pyramiden und Kegel gilt:
$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$
Der Faktor $\frac{1}{3}$ gehört nur zur zweiten Körpergruppe. Eine Pyramide oder ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe besitzt ein Drittel des Volumens des entsprechenden Prismas oder Zylinders.
Die rechteckige Grundfläche aus dem vorherigen Beispiel hat $G=24\,\mathrm{cm}^2$. Die senkrechte Körperhöhe beträgt $5\,\mathrm{cm}$.
Für ein Prisma rechnest du:
$$V=G\cdot h=24\,\mathrm{cm}^2\cdot5\,\mathrm{cm}=120\,\mathrm{cm}^3$$
Für eine Pyramide mit derselben Grundfläche und Höhe gilt:
$$V=\frac{1}{3}\cdot24\,\mathrm{cm}^2\cdot5\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{cm}^3$$
Die Einheit ist jeweils $\mathrm{cm}^3$, weil ein Rauminhalt berechnet wurde.
Welche Körperflächen musst du unterscheiden?
Die Oberfläche eines Körpers besteht aus allen seinen Begrenzungsflächen zusammen. Die Grundfläche ist also nur ein Teil der Oberfläche.
Bei einem Körper mit Grundfläche heißen die übrigen Begrenzungsflächen Seitenflächen, sofern sie keine Deckfläche sind. Zusammen bilden diese Seitenflächen die Mantelfläche.
- Grundfläche: ausgezeichnete Begrenzungsfläche
- Deckfläche: zur Grundfläche parallele Gegenfläche bei Prisma oder Zylinder
- Mantelfläche: Gesamtheit der übrigen Seitenflächen
- Oberfläche: alle Begrenzungsflächen zusammen
„Fläche“ und „Oberfläche“ werden im Alltag manchmal anders verwendet. In der Geometrie bezeichnet die Oberfläche eines Körpers die Gesamtheit aller Begrenzungsflächen.
So gehst du bei Aufgaben vor
- Bestimme den Körper. Prüfe, ob Grund- und Deckfläche oder Grundfläche und Spitze vorliegen.
- Erkenne die Form der Grundfläche. Ist sie zum Beispiel ein Rechteck, Dreieck oder Kreis?
- Berechne $G$. Nutze die passende Flächenformel und eine quadratische Einheit.
- Bestimme die senkrechte Höhe $h$. Verwende keine schräge Kante als Höhe.
- Wähle die Volumenformel. Nutze $V=G\cdot h$ oder $V=\frac{1}{3}G\cdot h$.
- Prüfe das Ergebnis. Ein Flächeninhalt hat eine quadratische, ein Volumen eine kubische Einheit.
Erst die Form der Grundfläche erkennen, dann $G$ berechnen und erst danach die passende Körperformel verwenden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Grundfläche
- erkennen: ausgezeichnete Begrenzungsfläche
- messen: Flächeninhalt $G$ in Quadrateinheiten
- zuordnen: Deckfläche, Mantelfläche und Oberfläche
- verbinden: senkrechte Körperhöhe $h$
- nutzen: Volumen von Prisma und Zylinder
- nutzen: Volumen von Pyramide und Kegel